Reflexion elektromagnetischer Wellen an einer inhomogenen Schicht

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Abstract

Die vorliegende Abhandlung ist eine mathematische Studie einiger Methoden zur Berechnung des Reflexionsvermögens einer Schicht, deren Dielektrizitätskonstante (DK) in einer Raumrichtung veränderlich ist. Sie bringt diese Methoden miteinander in Zusammenhang und hebt ihre charakteristischen Eigenschaften hervor. § 1 enthält die funktionentheoretische Methode, welche die Behandlung glatter inhomogener Medien ermöglicht — womit ich Schichten bezeichnen möchte, deren DK stetig und in allen Differentialquotienten stetig verläuft und nach beiden Seiten einem endlichen Grenzwert im Unendlichen zustrebt. Bisher fand, soweit mir bekannt, nur eine bestimmte Klasse solcher DK-Verläufe durch Epstein und Rawer rechnerische Behandlung. Hier wird eine zweite Klasse hinzugefügt, die ein besonders einfaches Verhalten zeigt. Diese Ergänzung dient hauptsächlich zur Erweiterung des Gesichtskreises und erweckt den Wunsch nach einer Statistik über alle Reflexionsvermögen solcher DK-Verläufe, die sich nur wenig voneinander unterscheiden. Im Besitze einer solchen Statistik ließe sich die Frage nach dem wahrscheinlichen oder mittleren Reflexionsvermögen einer Schicht beantworten, wenn etwa nur die Schichtdicke bekannt, der genaue Verlauf der DK aber unbekannt ist. Am nächsten verwandt mit der funktionentheoretischen Methode ist die Methode von Van Cittert, welche den Ausgangspunkt des § 2 bildet. Sie verknüpft einfallende und reflektierte Welle an jedem Raumpunkt durch zwei simultane Differentialgleichungen. Durch Einführen des Amplitudenverhältnisses der reflektierten zur einfallenden Welle entsteht daraus eine Riccatische Differentialgleichung, womit für schiefen Einfall eine weithin gemeinsame Behandlung der beiden Polarisationsfälle “elektrische bzw. magnetische Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene” möglich wird. Von hier aus führt eine Transformation, durch welche statt des Amplitudenverhältnisses das Reflexionsvermögenselbst und die Phasendifferenz zwischen einfallender und reflektierter Welle eingeführt wird, zu einer teilweisen Integration der Differentialgleichung für das Reflexionsvermögen. Dabei ergibt sich ein Kriterium für das Verschwinden des Reflexionsvermögens in der Form einer Orthogonalitätsrelation. Eine andere Transformation stellt den Zusammenhang mit der Differentialgleichung für die Reflexfunktion von Geffcken her. Bei den “Integrationsmethoden” hat man den Vorteil, daß bei Vernachlässigung eines naturgemäß auftretenden quadratischen Glieds eine anschaulich deutbare Näherungslösung entsteht. Man nimmt dafür den Nachteil in Kauf, daß diese Näherungen im allgemeinen zu einem gegenüber Schichtumkehr unsymmetrischen Reflexionsvermögen führen diesen Nachteil kann man im Einzelfall im Laufe der Rechnung durch extrapolierende, daher meist nicht eindeutige, Mittelungsprozesse beseitigen. In § 3 wird die Methode von Gans (WKB-Methode) unter dem in § 1 gewonnenen Standpunkt diskutiert und in § 4 eine reine Differentiationsmethode entwickelt. Diese beiden Methoden lassen sich nur auf Schichten endlicher Dicke anwenden, da sie das Vorhandensein von Grenzbedingungen im Endlichen benützen.

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