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Abstract

Die vorliegende Arbeit bringt die strenge Integration der Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes in dem unbegrenzten Raum zwischen zwei vollkommen leitenden konfokalen Drehparabolen, wenn die dabei mitberücksichtigte Anregung des Feldes in diesem Raum durch einen zur Rotationsachse konzentrischen elektrischen oder magnetischen Stromring erfolgt und also das Feld axialsymmetrisch ist. Die Lösung erscheint zunächst in der Gestalt eines komplexen Integrals, dessen Integrand sich aus einem Produkt oder einer Summe von Produkten mit den beiden konfluenten hypergeometrischen Funktionen Ms, 1/2 und Ws, 1/2 oder deren Ableitungen zusammensetzt. Die Integrationsvariable ist der vordere Parameter s dieser Funktionen. Die Lösung basiert auf der schon an anderer Stelle vom Verfasser hergeleiteten Integraldarstellung der eben beschriebenen Art für die Greensche Funktion exp (ikr)/ r der Wellengleichung bei beliebiger Lage von Aufpunkt und Quellpunkt.

Die in den Gl. (2.10) und (5.3) angegebene Lösung umfaßt infolge ihrer großen Allgemeinheit eine ganze Reihe Sonderfälle, unter denen einige von großer technischer oder physikalischer Bedeutung sind. Eine erste Gruppe von Sonderfällen wird im Abschnitt 3 behandelt. Sie ist gekennzeichnet durch das Fehlen des inneren Drehparabols. Sie betrifft also die elektromagnetische Strahlung im Innern eines unendlich langen hohlen parabolischen Horns. Nach der Art der Anregung werden unterschieden der freistehende magnetische Stromring, die zonale EMK in der inneren Oberfläche des äußeren Parabols, die man sich durch eine fremde Stromquelle geliefert zu denken hat und die längs eines ringförmigen Schlitzes im aufgeschnittenen Drehparabol wirksam ist, und der in der Achse liegende achsenparallele Dipol in beliebiger Orientierung zum Brennpunkt. Die beiden zuletzt erwähnten Anregungsformen entstehen aus dem freistehenden magnetischen Stromring, wenn er entweder in die äußere Begrenzungsfläche hineinrückt oder auf die Achse zusammenschrumpft.

Für die zweite Gruppe der im Abschnitt 4 besprochenen Sonderfälle der allgemeinen Lösung ist charakteristisch, daß hier das äußere Drehparabol fehlt, weil dessen Begrenzungsfläche ins Unendliche hinausgerückt worden ist. Nach der Art der Anregung werden wieder unterschieden der freistehende magnetische Stromring, die zonale EMK in der Oberfläche des ehemals inneren Parabols und der achsenparallele elektrische Dipol auf dem noch zugänglichen Teil der Rotationsachse. Auch hier stellen die beiden zuletzt erwähnten Formen der Anregung lediglich Grenzfälle des freistehenden Ringes dar, die dadurch verwirklicht werden, daß der Ring entweder in die Oberfläche des Parabols oder in die Achse hineinrückt. Schließlich wird in diesem Abschnitt auch noch die Lösung für den Fall angegeben, daß der Außenraum gemäß Abb. 3 durch zwei konfokale, sich orthogonal schneidende Drehparabole begrenzt ist. Für die physikalisch bedeutsamen Anordnungen werden aus den Integraldarstellungen auch die für die numerische Rechnung wichtigeren Reihenentwicklungen hergeleitet. Sie entstehen aus den Integralen durch Anwendung des Residuensatzes und erfordern die Kenntnis der Nullstellen von Ms, 1/2 und Ws, 1/2 oder deren Ableitungen in bezug auf s. Die darüber notwendigen Angaben sind an den betreffenden Stellen zu finden.

Der Abschnitt 5 bringt die allgemeine Lösung der eingangs beschriebenen Aufgabe für den elektrischen Stromring.