Über Differentialgleichungen mit Invarianz gegenüber der Lorentzgruppe

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Abstract

Der Übergang von Inertialsystem zu Inertialsystem erfolgt durch solche Transformationen, die eine Gleichung xmath image + xmath image + xmath imagexmath image = 0 invariant lassen (Lorentztransformationen). Da diese Gleichung einen ausgearteten Kegelschnitt darstellt, ist es naheliegend von Transformationen auszugehen, die einen nichtausgearteten Kegelschnitt ± χ (xmath image + xmath image + xmath imagex0 + 1 = 0 in sich überführen: projektive Gruppen (F. Klein). Physikalisch bedeutet dies die Annahme eines Raumes konstanter positiver oder negativer Krümmung statt des euklidischen Raumes. Die Liesche Gruppentheorie liefert die Hilfsmittel, alle bei gegebener Gruppe invar. Gleichungen und Differentialgleichungen zu finden und zu klassifizieren. Dies wird im euklidischen Fall für die Maxwellschen Gleichungen und die Wellengleichung gezeigt. Es ist bemerkenswert, das sich als Wellengleichung genau jene ergibt, die der Diraschen Theorie entspricht, und zwar mit gewöhnlichen Funktionen, nicht Matrizen und Operatoren. Die Liesche Theorie läßt auch erkennen, warum Schrödingers Relativierung seiner Wellengleichung mißlingen mußte: der Ansatz erfolgte nicht so, wie es der zugehörigen „Erweiterung” der Lorentzgruppe entsprechend gewesen wäre.

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