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Abstract

It has been suggested by several authors [1, 2] that quantum mechanical canonical transformations may be generalized by admitting partially isometric operators instead of unitary transformations used so far [3, 4]. It is known that it is possible to transform a Heisenberg couple into a corresponding one in a different Hilbert space. We shall show that the operators Q = VqV+ and P = VpV+ obtained in this way — which are unitarily equivalent to EqE and EpE, respectively, in the initial domain M of V onto which E projects — though symmetric in general will not be selfadjoint, and also present an example of this. Although it does not seem to be possible to settle the question of the existence of self-adjoint extensions definitely in the general case, the example of operators generated from the Schrödinger couple q and p shows the existence of such extensions having the spectrum of angle and z-component of angular momentum. Transducing the argument further we shall show that by choosing a different subspace N ⊂ M ℋ H it is well possible to generate the action and phase operator of the quantum mechanical harmonic oscillator with the correct spectrum.

Weiteres zu Operatoren, die von partiellen Isometrien erzeugt werden

Einige Autoren haben vorgeschlagen, kanonische Transformationen der Quantenmechanik dahingehend zu verallgemeinern, daß partielle Isometrien anstelle unitärer benutzt werden. Man weiß, daß auch auf diese Weise Paare von Heisenbergoperatoren in ebensolche übergeführt werden können. Wir zeigen, daß die so erzeugten Operatoren, Q: = VqV+ und P: = VpV+, im allgemeinen nur symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert sind. Ein typisches Beispiel, in dem q und p die Schrödingeroperatoren sind, soll dies verdeutlichen. Obwohl im allgemeinen die Existenz selbstadjungierter Erweiterungen von Q und P nicht gesichert ist, gibt es solche in dem Beispiel, die die Spektren von Winkel und Drehimpuls haben. Nochmalige Anwendung des Verfahrens führt auf ein Paar von Heisenbergoperatoren, die die Spektren von Winkel und Wirkung haben.