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Abstract

The Hamiltonian H and Hamilton equations of motion are derived for the Fourier amplitudes pk and qk of the canonical conjugate fields p and q defined by p = mν and ∂q/∂t = nν where ν(r, t) and n(r, t) are the velocity and density fields of ideal, compressible gases in the state of fully developed turbulence. A Liouville equation is presented for the distribution function f(pk, qk; {k}) in the multidimensional phase space formed by the scalar components of the set {k} of wave mode vectors pk and qk. Though the theory is highly idealized since viscous and thermal dissipation are not taken into account, it may be considered as a first attempt at extending statistical mechanics to random continuous media.

As an application, that stationary solution f = f(H) of the Liouville equation is calculated, which maximizes the turbulence entropy. It is shown that the distribution of the velocity and density fluctuations of compressible gases is Gaussian in fully developed turbulence, in agreement with the experiments.

Die Liouville-Gleichung für turbulente Gase

Im folgenden werden die Hamiltonfunktion H und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen abgeleitet für die Fourieramplituden pk und qk der kanonisch konjugierten Felder p und q, welche gegeben sind durch p = mν und ∂q/∂t = nν, wo ν(r, t) die Geschwindigkeits- und die Dichtefelder idealer, kompressibler Gase im Zustand voll entwickelter Turbulenz darstellen. Ferner wird eine Liouville-Gleichung hergeleitet für die Verteilungsfunktion f(pk, qk; {k}) im multidimensionalen Phasenraum der skalaren Komponenten des Satzes {k} der Wellenzustandsvektoren pk und qk. Obgleich die vorgelegte Theorie stark idealisiert ist, da weder die thermische noch die durch Reibung verursachte Dissipation berücksichtigt sind, dürfte sie wenigstens als ein erster Versuch zur Anwendung der statistischen Mechanik auf turbulente kontinuierliche Medien zu betrachten sein.

Als Anwendungsbeispiel wird die stationäre Lösung der Liouville-Gleichung mit der maximalen Turbulenz-Entropie berechnet. In Übreinstimmung mit den Experimenten wird gezeigt, daß die Verteilungs-Funktionen der Geschwindigkeiten und der Dichtefluktuationen in kompressiblen Gasen der Gaußschen Fehlerkurve entspricht.