Erhaltungssätze und Topologie

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Abstract

Es wird gezeigt, daß für jeden divergenzfreien Materietensor Tmath image ein in einem vorgegebenen Gravitationsfeld orthonormiertes Bezugssystem hmath image existiert, derart, daß die Komponenten hmath imageTmath image vier erhaltene Ströme sind. Die Definition von globalem Energie-Impuls, die mit diesen Strömen verbunden ist, enthält die Definition von Inertialsystemen im Minkowski-Raum ebenso wie die Definition der Energie im mitbewegten Bezugssystem bei Existenz von Killing-vektoren in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Wenn in einer Raum-Zeit mit nicht-trivialer Topologie vier geschlossene 3-Formen gegeben sind, kann man umgekehrt ein orthonormiertes Bezugssystem hmath image einführen, so daß die Raum-Zeit-Komponenten der zugehörigen dualen 1-Formen einen symmetrischen Materietensor definieren, der entsprechend den Einsteinschen Gleichungen das Gravitationsfeld erzeugt. Das bedeutet eine teilweise topologische Definition von Materie, da der nichttrivial geschlossene Teil der 3-Formen durch die Topologie der Mannigfaltigkeit gegeben ist.

Abstract

Conservation Laws and Topology

It is shown, that for every conserved matter tensor Tνμ there exists a frame of reference haμ, orthonormalized in a given gravitational field, such that the components haνTνμ are four conserved currents. The definition of global energy-momentum connected with these currents contains as special causes the definition of inertial frames in Minkowski space as well as the definition of energy in a comoving system in presence of Killing vectors in general relativity.

Given on the other hand four closed 3-forms in a space-time with non-trivial topology, one can introduce an orthonormal frame of reference haμ in such a way, that the space-time- components of the 1-forms, dual to the given 3-forms, define a symmetric matter tensor, which generates according to Einstein's equations the gravitional field. This means a partly topological definition of matter, since the non-trivially closed part of the 3-forms is determined by the topology of the manifold.

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