Über die Möglichkeit der Zustandsvoraussage chaotischer Systeme

Authors


  • Prof. Dr. Robert Rompe zum 80. Geburtstag zugeeignet

Abstract

Deterministische chaotische Systeme reagieren empfindlich auf Störungen ihrer Bewegung. Kennt man im speziellen den Anfangszustand des Systems nicht exakt, so ist eine Voraussage über das zukünftige Verhalten des Systems nur beschränkt möglich. Die Transformation IT gibt an, wieviel Information man über einen zukünftigen Zustand hat, wenn man den Anfangszustand mit einer bestimmten Genauigkeit kennt.

In dieser Arbeit werden weitere mögliche Interpretationen von IT in Hinblick auf die Beschreibung dynamischer Systeme gegeben. Für zwei einfache eindimensionale Abbildungen wird IT in Abhängigkeit von der Zeit der Voraussage (l) bestimmt: Ein System, das durch die BERNOULLI-Abbildung beschrieben wird, vergißt nach der ersten Iteration 1 bis 1,5 bit von seinem Anfangszustand. Vollständiges Vergessen tritt jedoch i. allg. erst für l → ∞ ein. Bei der Logistik-Abbildung vergißt das System seinen Anfangszustand schneller, wenn der Grad des Chaos (d. h. der LJAPUNOV-Exponent) oder die äußeren Störungen zunehmen.

Abstract

On the Possibility of State Prediction of Chaotic Systems

Deterministic chaotic systems show a sensitive response to perturbations of their motion. In particular, if one has not exact knowledge about the initial state of the system, limits are set to the prediction of the system's future behaviour. The transinformation IT is the information obtainable about a future state, if one knows the initial state within a certain precision. In this paper further possible interpretations of IT are given with regard to the description of dynamic systems. IT is determined for different times of prediction (l) in the case of two simple one-dimensional maps: A system described by the BERNOULLI-map forgets after the first iteration 1 to 1.5 bit of its initial state. Nevertheless, in general we have complete loss of memory only for l → ∞. In the case of the logistic map the system forgets its initial state faster, if the degree of chaos (i.e. the LYAPUNOV characteristic exponent) or the extrinsic perturbations are increased.

Ancillary