We consider the integro-differential equation for the classical trajectory of an oscillator coupled to another one. On the quantum level the elimination of the coordinate A of the “unvisible” oscillator leads to an effective path integral (X, Ξ, μ) for the associated imaginary time stochastic process t ϵ, (-∞,∞) [RIGHTWARDS ARROW] x(t). We prove reflection positivity of the measure dμ ≈ F · dξ, where dξ governes the free oscillator x and F is the counterpart of Feynman's influence functional. Finally, realizing the Hamiltonian semigroup exp(-tH), t ≧ 0, in the physical Hilbert space ℋ = L2(X, Γ, μ), where Γ ⊆ Ξ+, we try to understand what is memory.

Über ein Quantensystem mit Gedächtnis

Wir untersuchen die Integro-Differentialgleichung für die klassische Trajektorie eines Oszillators, welcher an einen zweiten gekoppelt ist. Was passiert in der Quantenmechanik, wenn man die Koordinate des „unsichtbaren” Oszillators eliminiert? In imaginärer Zeit erhalten wir ein effektives Funktionalintegral (X, Ξ, μ) für den assoziierten stochastischen Prozeß t ϵ (-∞,∞) [RIGHTWARDS ARROW] x(t). Formal gilt dμ ≈ F · dξ. Hierbei beschreibt das Maß dξ die Dynamik des freien Oszillators „x” und F entspricht dem Feynmanschen Einflußfunktional. Wir zeigen, daß dμ reflexionspositiv ist und realisieren die Halbgruppe exp(-tH), t ≧ 0, in ℋ = L2(X, Ξ+, μ). Dabei versuchen wir zu verstehen, wie in der Quantentheorie Gedächtnis entsteht.