Resonances and Gamow States in Non-Local Potentials

Authors


Abstract

For a large class of non-local, non separable potentials with non-compact support, the solution of the radial integrodifferential equation may be reduced to the solution of a homogeneous linear integral equation of Fredholm type with a quadratically integrable kernel. In this way we derive expansions of the wave functions and the Green's function of the Schrödinger equation with a non-local potential in terms of bound states, resonant states and a continuum of scattering functions with complex wave number. The rules of normalization, orthogonality and completeness satisfied by the eigenstates of the Schrödinger equation belonging to complex eigenvalues with Im En < 0, (Gamow or resonant states) are also derived. Finally, by means of a realistic example, it is shown how to use these expansions to exhibit the resonant behaviour of the differential cross section. Explicit expressions for the transition amplitudes and the partial widths in terms of expectation values of operators computed with Gamow functions are given.

Abstract

Resonanzen und Gamow-Zustände in nichtlokalen Potentialen

Für eine weite Klasse von nichtlokalen und nicht separablen Potentialen auf einem Kompaktum, kann die Lösung der radialen Integrodifferentialgleichung auf die Lösung einer homogenen, linearen Integralgleichung des Fredholmschen Typs mit quadratintegrablem Kern zurückgeführt werden. So leiten wir Entwicklungen der Wellenfunktion und der Greenschen Funktion der Schrödinger-Gleichung mit einem nichtlokalen Potential in Bindungszustände, Resonanzzustände und ein Kontinuum von Streufunktionen mit komplexer Wellenzahl her. Die Gesetze für Norm, Orthogonalität und Vollständigkeit, welche von den Eigenzuständen der Schrödinger-Gleichung mit komplexer Wellenzahl und Im En < 0 (Gamow oder Resonanzzustände) erfüllt werden, leiten wir ebenfalls her. Schließlich zeigen wir anhand eines realistischen Beispiels auf, wie diese Entwicklungen verwendet werden können, um resonantes Verhalten des Streuquerschnitts zu demonstrieren. Explizite Ausdrücke für Übergangsamplituden und partielle Abstände durch Erwartungswerte von Operatoren mit Gamow-Zuständen werden gegeben.

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