Numerical calculation of developing laminar flow in pipes of arbitrary curvature radius

Authors

  • Joseph A. C. Humphrey

    1. Department of Mechanical Engineering, Imperial College of Science and Technology, Exhibition Road, London SW7 2BX, England
    Current affiliation:
    1. Department of Aerospace and Mechanical Sciences, Princeton University, Princeton, New Jersey 08540
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Abstract

Elliptic forms of the Navier-Stokes equations in rigorously formulated toroidal coordinates are solved numerically for laminar, incompressible, isothermal flow in curved pipes of small curvature radius and 90° deflection angle. As a special case, the flow through curved annuli is also considered in which the presence of the inner curved wall causes the appearance of two (rather than one) pair of cross-stream vortices. Recirculation in the main flow direction is observed at the outer curvature wall of a pipe with Rc/d = 1 and Re = 1800 over a deflection angle corresponding to 9° ≤ θ ≤ 21°. Flow reversal is attributed to the large and unfavorable longitudinal pressure gradient prevailing at the outer curvature wall over the first half of the pipe. Calculations show that the cross-steam flow in a strongly curved pipe can be as large as 80% of the bulk average velocity at θ = 45° but is reduced in magnitude between θ = 45° and 90°.

The numerical procedure used for the present calculations is a special case of a more general method which will solve flows in arbitrary curvilinear orthogonal coordinates provided the appropriate scale factors and extra source terms are included. A detailed derivation of the difference equations in curvilinear orthogonal coordinates is, therefore, presented here.

Abstract

On résout numériquement des formes elliptiques des équations de Navier et Stokes, dans des coordonnées toroïdales formulées rigoureusement, dans le cas d'un écoulement laminaire, incompressible et isothermique qui se produit dans des tuyaux courbés possédant un rayon de courbure faible et un anle de déflexion de 90°. On considère aussi, comme cas spécial, l'écoulement à travers des tores courbés, dans lequel la présence de la paroi intérieure courbée donne l'apparence de deux (plutôt qu'une) paires de tourbillons en travers du courant. On observe une recirculation dans la direction de l'écoulement principal à la paroi de courbure extérieure d'un tuyau, lorsque Rc/d = 1 et Re = 1800 avec un angle de déflexion correspondant à 9° ≤ θ ≤ 21°. On attribue l'inversion de l'écoulement au gradient de pression longitudinale considérable et défavorable qui prédomine à la paroi de courbure extérieure sur la première moitié du tuyau. Les calculs indiquent que l'écoulement en travers du courant dans un tuyau fortement courbé peut atteindre en ampleur 80% de la vitesse globale moyenne lorsque θ = 45°, mais diminue en importance lorsque θ est compris entre 45° et 90°.

Le procédé numérique employé dans les présents calculs est un cas spécial d'une méthode plus générale qui permet de résoudre les écoulements dans des coordonnées orthogonales, arbitraires et curvilignes, pourvu qu'on y inclut les facteurs de proportionnalité appropriés et des premiers termes additionnels. On présente donc dans le présent travail la mise au point détaillée des équations des différences dans des coordonnées orthogonales et curvilignes.

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