Drainage of thin films beneath parabolic and spherical caps

Authors

  • Shaik A. K. Jeelani,

    1. Swiss Federal Institute of Technology, Department of Chemical Engineering and Industrial Chemistry, Universitátsstrasse 6, Zurich (Switzerland)
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  • Stanley Hartland

    1. Swiss Federal Institute of Technology, Department of Chemical Engineering and Industrial Chemistry, Universitátsstrasse 6, Zurich (Switzerland)
    Current affiliation:
    1. Swiss Federal Institute of Technology, Department of Chemical Engineering and Industrial Chemistry, Universitátsstrasse 6, Zurich (Switzerland)
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Abstract

The variation in film thickness h with time t for the approach of an infinite sphere to a plane horizontal surface (β = 1) or of two infinite spheres (β = 2) is given by:

equation image

For finite spherical caps with edge radius rf the variation is much more complicated and also involves the parameter S = βr2f/2aho. Fortunately, the gradient

equation image

is the same in both cases, providing t is large enough (the critical value of t increases with decreasing S). A similar result is obtained if the spherical cap is approximated by a parabolic cap with apex curvature 1/a equal to that of the sphere. In both cases the variation in dynamic pressure close to the centre of the draining film is identical and independent of the radial position where the dynamic pressure falls to zero when the film thickness is small.

MacKay and Mason (1961) measured the film thickness beneath a sphere of finite size approaching a horizontal plane and experimentally verified Equation (b). This does not however, as they assumed, prove the correctness of Equation (a), which only applies to infinite spheres. The more complicated equations describing the approach of finite spheres and parabolic caps are presented in this paper.

Abstract

L'expression suivante donne la variation de l'épaisseur du film h en fonction du tems t, pour l'approche d'une sphère ifinie vers une surface plane horizontale (β = 1) ou de deux sphères infinies (β = 2):

equation image

Pour des capsules sphériques finies avec un rayon de bord rf, la variation est bien plus compliquée et implique aussie le paramètre S = βr2 f/2aho. Heureusement, la dérivée

equation image

est la même dans les deux cas, pourvu que t soit assez grand (la valeur critique de t augmente lorsque S décroît). On obtient un résultat semblable, si l'on représente de façon approximative la capsule sphérique par une capsule parabolique de courbure au sommet 1/a égale à celle de la sphère. Dans les deux cas, la variation de la pression dynamique près du centre du film de trainée est identique et indépendante de la position radiale, lorsque la pression dynamique atteint zéro pour les petites épaisseurs du film.

MacKay et Mason (1961) ont mesuré l'épaisseur du film au-dessous d'une sphère de dimensions finies approchant un plan horizontal, et ils ont vérifié expérimentalement l'équation (b). Toutefois, cela ne prouve pas, comme ces deux auteurs le supposaient, la validité de l'équation (a), qui ne s'applique qu'aux sphères infinies. On propose dans le présent travail, des équations plus complexes qui décrivent l'approche des sphères finies et des capsules paraboliques.

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