Application of orthogonal collocations to some transport phenomena problems in co-axial cylinders and spheres

Authors

  • S. K. Goyal,

    1. Department of Chemical Engineering, University of Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan, Canada S7N 0W0
    Current affiliation:
    1. Department of Chemical Engineering. McGill University, Montreal, Canada H3A 2A7
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  • M. N. Esmail,

    1. Department of Chemical Engineering, University of Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan, Canada S7N 0W0
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  • N. N. Bakhshi

    1. Department of Chemical Engineering, University of Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan, Canada S7N 0W0
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Abstract

Collocation methods are developed for the solution of some differential equation models for transport phenomena problems in one-and two-dimensions in co-axial annuli of spherical and cylindrical shapes. General formulae are developed to obtain orthogonal polynomials over an arbitrary interval using two types of weighting functions. The convergence and accuracy of the methods are demonstrated using two test problems, i.e., calculation of effectiveness factors in (a) a spherical pellet with peripherally deposited catalyst and (b) a Raschig ring type cylindrical catalyst pellet. Comparisons of results obtained from the present methods with analytic solutions for the first-order reactions indicate good agreement. Numerical solutions are also obtained for the second-and the third-order reactions for which analytic solutions are not available. Results obtained in terms of a new Thiele modulus involving the ratio of volume of peripherally deposited part of catalyst to exterior surface area indicate that this normalization brings effectiveness factor versus Thiele modulus curves close together for co-axial spherical and long cylindrical pellets, as it does for these geometries without the inner co-axial portion.

Abstract

Des méthodes de collocation ont été mises au point pour la résolution des équations différentielles modélisant les phénomènes d'échange à une et deux dimensions pour des espaces annulaires co-axiaux de forme cylindrique et sphérique. On a développé des formules générales pour obtenir des polynomes orthogonaux sur un intervalle arbitraire en utilisant deux types de fonctions de pondération. Deux problèmes-tests nous ont permis d'illustrer la convergence et la précision de ces méthodes: le calcul des facteurs d'efficacité dans (a) un comprimé sphérique où le catalyseur est déposé en périphéric et (b) un comprimé de catalyseur cylindrique de type anneau de Raschig. La comparaison des résultats obtenus avec les solutions analytiques montrent un bon accord pour des réactions du premier ordre. On a également obtenu des solutions numériques pour des réactions des deuxième et troisiéme ordres pour lesquels on ne dispose d'aucune solution analytique. Les résultats exprimés en fonction d'un nouveau module de Thiele utilisant le rapport entre le volume de la partie du catalyseur déposée à la périphérie et la surface extérieure, montrent que cette normalisation rapprochent les courbes du module de Thiele en fonction du facteur d'efficacité pour les comprimés sphériques co-axiaux et cylindriques longs, comme dans des géométries sans partie co-axiale intérieure.

Ancillary