Positive quadrant dependence tests for copulas

Authors

  • Irène Gijbels,

    Corresponding author
    1. Department of Mathematics and Leuven Statistics Research Center (LStat), Katholieke Universiteit Leuven, Box 2400, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium
    • Department of Mathematics and Leuven Statistics Research Center (LStat), Katholieke Universiteit Leuven, Box 2400, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium.
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  • Marek Omelka,

    1. Faculty of Mathematics and Physics, Department of Statistics, Charles University in Prague, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8, Czech Republic
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  • Dominik Sznajder

    1. Department of Mathematics and Leuven Statistics Research Center (LStat), Katholieke Universiteit Leuven, Box 2400, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven (Heverlee), Belgium
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Abstract

In this paper the interest is in testing the null hypothesis of positive quadrant dependence (PQD) between two random variables. Such a testing problem is important since prior knowledge of PQD is a qualitative restriction that should be taken into account in further statistical analysis, for example, when choosing an appropriate copula function to model the dependence structure. The key methodology of the proposed testing procedures consists of evaluating a “distance” between a nonparametric estimator of a copula and the independence copula, which serves as a reference case in the whole set of copulas having the PQD property. Choices of appropriate distances and nonparametric estimators of copula are discussed, and the proposed methods are compared with testing procedures based on bootstrap and multiplier techniques. The consistency of the testing procedures is established. In a simulation study the authors investigate the finite sample size and power performances of three types of test statistics, Kolmogorov–Smirnov, Cramér–von-Mises, and Anderson–Darling statistics, together with several nonparametric estimators of a copula, including recently developed kernel type estimators. Finally, they apply the testing procedures on some real data. The Canadian Journal of Statistics 38: 555–581; 2010 © 2010 Statistical Society of Canada

Abstract

Dans ce papier l'intérêt consiste en tester l'hypothèse nulle de la dépendance positive par quadrant entre deux variables aléatoires. Un tel problème de test est important car la connaissance de la dépendance positive par quadrant est une restriction qualitative qui devrait d'être tenue en compte dans des analysis statistiques, p.e. en choissisant une function copule appropriée pour modeliser la structure de dépendance. La méthodologie clé des procédures de test proposées consiste en évaluer une ‘distance’ entre un estimateur nonparamétrique de la copule et la copule indépendance, qui est utilisée comme un cas de référence dans l'ensemble de copules ayant la propriété de la dépendance positive par quadrant. Les auteurs discuttent des choix appropriés de distances et des estimateurs nonparamétriques de copule, et comparent les méthodes proposés avec des procédures de tests basées sur le bootstrap ou sur des techniques à multiplicateurs. La consistance des procédures de test est établie. Dans une étude de simulations, les auteurs examinent les performances de seuil et de puissance de trois types de statistiques de test, des statistiques du type Kolmogorov–Smirnov, Cramér–von-Mises et Anderson–Darling statistics, en utilisant plusieurs estimateurs nonparamétriques du copule, inclus les estimateurs à noyau proposés récemment. Finalement, les procédures de test sont utilisées sur des données réels. La revue canadienne de statistique 38: 555–581; 2010 © 2010 Société statistique du Canada

Ancillary