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Data depth-based nonparametric scale tests

Authors


Abstract

Liu and Singh (1993, 2006) introduced a depth-based d-variate extension of the nonparametric two sample scale test of Siegel and Tukey (1960). Liu and Singh (2006) generalized this depth-based test for scale homogeneity of k ≥ 2 multivariate populations. Motivated by the work of Gastwirth (1965), we propose k sample percentile modifications of Liu and Singh's proposals. The test statistic is shown to be asymptotically normal when k = 2, and compares favorably with Liu and Singh (2006) if the underlying distributions are either symmetric with light tails or asymmetric. In the case of skewed distributions considered in this paper the power of the proposed tests can attain twice the power of the Liu-Singh test for d ≥ 1. Finally, in the k-sample case, it is shown that the asymptotic distribution of the proposed percentile modified Kruskal-Wallis type test is χ2 with k − 1 degrees of freedom. Power properties of this k-sample test are similar to those for the proposed two sample one. The Canadian Journal of Statistics 39: 356–369; 2011 © 2011 Statistical Society of Canada

Abstract

Liu et Singh (1993, 2006) ont introduit une généralisation d-dimensionnelle basée sur la profondeur du test non paramétrique de Siegel et Tukey (1960) pour deux paramètres d' échelle. Liu et Singh (2006) ont généralisé ce test d'homogénéité des paramètres d' échelle basé sur la profondeur à k (k ≥ 2) populations multidimensionnelles. Motivé par les travaux de Gastwirth (1965), nous proposons une modification aux idées de Liu et Singh pour tester k percentiles. Nous montrons que ce test statistique est asymptotiquement normal lorsque k = 2 et il se compare favorablement à celui de Liu et Singh (2006) lorsque les distributions sous-jacentes sont symétriques avec des queues légères ou encore asymétriques. Pour les distributions asymétriques considérées dans cet article, la puissance des tests proposés peut atteindre jusqu'à deux fois celle du test de Liu-Sing lorsque d ≥ 1. Pour terminer, dans le cas à k échantillons, nous montrons que la distribution asymptotique du test sur les percentiles de type Kruskal-Wallis est χ2 avec k − 1 degrés de liberté. Les propriétés de puissance du test sur k échantillons sont similaires à celle du test à deux échantillons. La revue canadienne de statistique 39: 356–369; 2011 © 2011 Société statistique du Canada

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