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Keywords:

  • Compound estimator;
  • functional data analysis;
  • nonparametric regression;
  • self-consistency;
  • MSC 2010: Primary 62G08;
  • secondary 62G20

Abstract

Many methods have been developed for the nonparametric estimation of a mean response function, but most of these methods do not lend themselves to simultaneous estimation of the mean response function and its derivatives. Recovering derivatives is important for analyzing human growth data, studying physical systems described by differential equations, and characterizing nanoparticles from scattering data. In this article the authors propose a new compound estimator that synthesizes information from numerous pointwise estimators indexed by a discrete set. Unlike spline and kernel smooths, the compound estimator is infinitely differentiable; unlike local regression smooths, the compound estimator is self-consistent in that its derivatives estimate the derivatives of the mean response function. The authors show that the compound estimator and its derivatives can attain essentially optimal convergence rates in consistency. The authors also provide a filtration and extrapolation enhancement for finite samples, and the authors assess the empirical performance of the compound estimator and its derivatives via a simulation study and an application to real data. The Canadian Journal of Statistics 39: 280–299; 2011 © 2011 Statistical Society of Canada

Plusieurs méthodes ont été développées pour l'estimation non paramétrique d'une fonction de réponse moyenne. Cependant, la majorité de ces méthodes ne permettent pas l'estimation simultanée de la fonction de réponse moyenne et de ses dérivées. L'obtention des dérivées est importante lorsque nous analysons les données sur la croissance humaine, nous étudions des systémes physiques décrits par des équations différentielles ou encore lorsque nous caractérisons les nanoparticules á partir de données de diffusion. Dans cet article, les auteurs proposent une nouvel estimateur composé qui combine l'information provenant de plusieurs estimateurs ponctuels indicés de faon discréte. Contrairement aux lisseurs par splines ou par noyau, l'estimateur composé est infiniment différentiable. Contrairement aussi aux lisseurs par régression locale, l'estimateur composé est autocohérent dans le sens que ses dérivées estiment les dérivées de la fonction de réponse moyenne. Les auteurs montrent que l'estimateur composé, ainsi que ses dérivées, atteignent essentiellement le taux de convergence optimale. Les auteurs fournissent aussi des ajustements par filtration ou extrapolation pour les petits échantillons. á l'aide d'une étude de simulation, ils mesurent aussi la performance empirique de l'estimateur composé et de ses dérivées. Ils l'appliquent aussi á un vrai jeu de données. La revue canadienne de statistique 39: 280–299; 2011 © 2011 Société statistique du Canada