Ein mathematisches Modell für biologische Schwingungen*

Authors


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    Herrn Prof. Dr. Konrad Lorenz zum 60. Geburtstag gewidmet.

Abstract

Zusammenfassung

Das Ziel der vorliegenden Untersuchung ist die Aufstellung einer Differential-Gleichung zur Beschreibung biologischer Rhythmen. Als Ausgang dient die Tagesperiodik, da deren Schwingungs-Eigenschaften experimentell besonders gut bestimmt sind. Die beiden empirisch festgestellten Regeln, die einen großen Teil unserer Kenntnis von der Tagesperiodik zusammenfassen (Fähigkeit zur Selbsterregung und circadiane Regel), führen zu zwei bestimmten Nicht-Linearitäten der Schwingungs-Gleichung. Beim Übergang zu anderen biologischen Rhythmen muß auch die Frequenz-Abhängigkeit dieser charakteristischen Nicht-Linearitäten berücksichtigt werden.

Die auf diese Weise abgeleitete Schwingungs-Gleichung beschreibt einmal zahlreiche Eigenschaften der Tagesperiodik, und zwar sowohl unter “konstanten Bedingungen” (Abb. 3) als auch unter dem Einfluß von “Zeitgebern” (Abb. 4). Darüber hinaus erweist sie sich beim Einsetzen höherer Frequenzen als brauchbares Modell für rhythmische Erscheinungen von Nerven-Zellen; sie kann sowohl als Modell für “spontan tätige” (Abb. 5) als auch für “reaktiv tätige” Neurone (Abb. 6) dienen; darüber hinaus beschreibt sie möglicherweise auch bestimmte Eigenschaften komplexeren Verhaltens (“Instinkt-Handlungen”), das zwischen diesen beiden Typen liegt (Abb. 7).

Summary

The objective of the present investigation was the derivation of a differential equation to describe biological rhythms. The diurnal periodicity was used as a starting point, since the properties of this oscillation are particularly well established experimentally. Two empirical generalisations, which summarize a great deal of present knowledge about diurnal rhythms: 1. capacity for self-sustained oscillations, and 2. the “circadian rule” — lead to two particular non-linearities of the equation. When used to describe other biological periodicities, the frequency-dependence of these essential non-linearities must also be considered.

The differential equation thus derived describes numerous properties of the diurnal rhythms, not only under constant conditions (Fig. 3) but also under the influence of Zeitgeber (Fig. 4). Furthermore, by the introduction of higher frequencies, the equation serves as a useful model for spontaneously active neurones (Fig. 5) and for those responding to stimuli (Fig. 6). In addition, it seems possible that this equation can describe certain properties of complex behaviour (instinctive activities) which lie between spontaneous and responsive activity (Fig. 7).

Ancillary