Immanence and Validity

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Summary

Metatheory may be pursued immanently, i.e., within the object language, or transcendently in metalanguages. Immanently, the hierarchy of metalanguages gives way to a hierarchy of predicates. The immanent approach accentuates the symmetry between Russell's paradox and Cantor's theorem: class shortage versus predicate shortage. Appeal to metatheoretic models, in defining logical truth, gives way to appeal to substitutions of expressions of the object language. Can this be said also of set-theoretic truth, despite predicate shortage? Equivalently: is substitutional quantification unscathed by predicate shortage? Anyway substitutional quantification balks at impredicative cases.

Résumé

Une métathéorie peut être pratiquée de façon immanente, c'est-à-dire dans le cadre du langa-ge objet ou de façon transcendante dans des métalangages. Dans le mode immanent, la hiérarchie des métalangages donne lieu à une hiérarchie de prédicats. Ľapproche immanente accentue la symétrie entre le paradoxe du Russell et le théorème de Cantor: insuffisance des classes face à une insuffisance des prédicats. Le recours à des modèles métathéoriques donne lieu, en définissant la vérité logique, à un recours à la substitution ?expressions du langage objet. Ceci peut-il être également dit de la vérité en théorie des ensembles, en dépit de ľinsuffisance des prédicats? De manière équivalente: la quantification substitutionnelle reste-t-elle intouchée par ľinsuffisance des prédicats? Quoi qu'il en soit, la quantification substitutionnelle ne convient pas pour les cas imprédicatifs.

Zusammenfassung

Eine Metatheorie kann immanent d.h. innerhalb der Objektsprache studiert werden oder transzendent in Metasprachen. Innerhalb einer Objektsprache weicht die Hierarchie der Meta-sprachen einer Hierarchie der Prädikate. Die immanente Behandlungsweise betont die Symmetrie zwischen Russells Paradox un Cantors Theorem: Mangel an Klassen versus Prädikatenmangel. Das Verfahren, logische Wahrheit mittels metatheoretischer Modelle zu definieren, weicht der Ersetzung von Ausdrücken aus der Objektsprache. Kann dies, trotz Knappheit an Prädikaten, übertragen werden auf mengentheoretische Wahrheit? Anders gefragt, wird substitutionelle Quantifikation verunmöglicht durch Prädikatenmangel? Jedenfalls stOsst die substitutionelle Quantifikation auf Schwierigkeiten bei imprädikativen Fällen.

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