# Covariate Measurement Error in Quadratic Regression

## Summary

We consider quadratic regression models where the explanatory variable is measured with error. The effect of classical measurement error is to flatten the curvature of the estimated function. The effect on the observed turning point depends on the location of the true turning point relative to the population mean of the true predictor. Two methods for adjusting parameter estimates for the measurement error are compared. First, two versions of regression calibration estimation are considered. This approximates the model between the observed variables using the moments of the true explanatory variable given its surrogate measurement. For certain models an expanded regression calibration approximation is exact. The second approach uses moment-based methods which require no assumptions about the distribution of the covariates measured with error. The estimates are compared in a simulation study, and used to examine the sensitivity to measurement error in models relating income inequality to the level of economic development. The simulations indicate that the expanded regression calibration estimator dominates the other estimators when its distributional assumptions are satisfied. When they fail, a small-sample modification of the method-of-moments estimator performs best. Both estimators are sensitive to misspecification of the measurement error model.

## Résumé

Nous considérons des modèles de régression quadratique où la variable explicatrice est mesurée avec une erreur. L'erreur classique de mesure réduit la courbure de la fonction estimée. L'effet sur le maximum/minimum observé dépend de la position du vrai point maximum/minimum relativement à la moyenne de la population de la variable explicatrice. Deux méthodes d'ajustement de paramètres pour la mesure de l'erreur sont comparées. Tout d'abord, deux versions de l'estimation par la méthode “regression calibration” sont considérées. Elles estiment le modèle en utilisant les moments de la vraie variable explicatrice étant donné son observation. Pour certains modèles, une approximation par la méthode étendue de “regression calibration” est exacte. La seconde approche utilise des méthodes fondées sur les moments, qui ne nécessitent aucune hypothèse sur les distributions des variables explicatrices mesurées. Ces estimations sont comparées par des simulations puis utilisées pour examiner la sensibilité aux erreurs de mesure des modèles liant l'inégalité des revenus et le niveau de développement économique. Ces simulations indiquent que l'estimateur de la méthode étendue. de “regression calibration” domine les autres estimateurs lorsque les hypothèses sur les distributions qu'elle exige sont satisfaites. Sinon, une modification de l'estimateur de la méthode des moments pour de petits échantillons est meilleure. Ces deux estimateurs sont sensibles a une mauvaise spécification du modèle de l'erreur de la mesure.