On Invariant Coordinate System (ICS) Functionals

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Résumé

Les problèmes d'équivariance et d'invariance sont fréquents en analyse multivariée, o des adaptations sont parfois nécessaires en vue de l'obtention de versions équivariantes ou invariantes des procédures utilisées. Ces adaptations reposent souvent sur un traitement préliminaire des données, standardisation ou transformation via un système de coordonnées invariantes (ICS). Dans cet article, les méthodes de standardisation, ainsi que les caractéristiques des fonctionnelles et statistiques utilisées dans le cadre des ICS et leurs invariances sous l'action de certains groupes de transformations, sont examinées. En particulier, la méthode de construction fondée sur l'utilisation de deux matrices de scatter, développée par Tyler et al. (2009), ainsi que la méthode directe suggérée par Chaudhuri & Sengupta (1993), sont examinées. Diverses applications sont discutées.

Summary

Equivariance and invariance issues often arise in multivariate statistical analysis. Statistical procedures have to be modified sometimes to obtain an affine equivariant or invariant version. This is often done by preprocessing the data, e.g., by standardizing the multivariate data or by transforming the data to an invariant coordinate system (ICS). In this paper, standardization of multivariate distributions and characteristics of ICS functionals and statistics are examined. Also, invariances up to some groups of transformations are discussed. Constructions of ICS functionals are addressed. In particular, the construction based on the use of two scatter matrix functionals presented by Tyler et al. (2009) and direct definitions based on the approach presented by Chaudhuri & Sengupta (1993) are examined. Diverse applications of ICS functionals are discussed.

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