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Keywords:

  • Dimension reduction;
  • double robustness;
  • efficiency bound;
  • estimating equation;
  • linearity condition;
  • sliced inverse regression;
  • sufficient dimension reduction

Résumé

Résumer l'impact d'un nombre élevé de variables explicatives à celui d'un nombre réduit de combinaisons linéaires bien choisies constitue une façon efficace de réduire la dimension d'un problème. Cette réduction à un petit nombre de combinaisons linéaires est réalisée à partir d'hypothèses minimales sur la forme de la dépendance et jouit, par rapport à une approche fondée sur la sélection de variables, de propriétés particulièrement attractives. Nous passons en revue la littérature existante sur ce sujet, en mettant l'accent sur les modèles les plus courants, dans lesquels la réduction de dimension affecte l'espérance conditionnelle de la réponse ou sa loi conditionnelle tout entière. Nous discutons plusieurs méthodes d'estimation et d'inférence, en insistant sur les idées sous-jacentes plutôt que sur les aspects techniques. Nous présentons également quelques problèmes non résolus et thèmes de recherches futures dans ce domaine.

Summary

Summarizing the effect of many covariates through a few linear combinations is an effective way of reducing covariate dimension and is the backbone of (sufficient) dimension reduction. Because the replacement of high-dimensional covariates by low-dimensional linear combinations is performed with a minimum assumption on the specific regression form, it enjoys attractive advantages as well as encounters unique challenges in comparison with the variable selection approach. We review the current literature of dimension reduction with an emphasis on the two most popular models, where the dimension reduction affects the conditional distribution and the conditional mean, respectively. We discuss various estimation and inference procedures in different levels of detail, with the intention of focusing on their underneath idea instead of technicalities. We also discuss some unsolved problems in this area for potential future research.