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Keywords:

  • Primary: 91B02;
  • Secondary: 62B15, 91B42
  • Statistical experiment;
  • filtered likelihood ratio process;
  • martingale measure;
  • pricing formula;
  • Bayes risk;
  • Neyman–Pearson test;
  • completeness;
  • contiguity;
  • local asymptotic normality

Summary

This paper discusses the connection between mathematical finance and statistical modelling which turns out to be more than a formal mathematical correspondence. We like to figure out how common results and notions in statistics and their meaning can be translated to the world of mathematical finance and vice versa. A lot of similarities can be expressed in terms of LeCam’s theory for statistical experiments which is the theory of the behaviour of likelihood processes. For positive prices the arbitrage free financial assets fit into statistical experiments. It is shown that they are given by filtered likelihood ratio processes. From the statistical point of view, martingale measures, completeness, and pricing formulas are revisited. The pricing formulas for various options are connected with the power functions of tests. For instance the Black–Scholes price of a European option is related to Neyman–Pearson tests and it has an interpretation as Bayes risk. Under contiguity the convergence of financial experiments and option prices are obtained. In particular, the approximation of Itô type price processes by discrete models and the convergence of associated option prices is studied. The result relies on the central limit theorem for statistical experiments, which is well known in statistics in connection with local asymptotic normal (LAN) families. As application certain continuous time option prices can be approximated by related discrete time pricing formulas.

Résumé

Dans cet travail on discute une connexion entre les mathématiques financières et la modélisation statistique. On trouve qu’il y a plus qu’une correspondance formelle. Nous voulons découvrir comment on peut traduire des résultats usités statistiques et leur signification par des expressions des mathématiques financières et vice versa. Beaucoup des ressemblances peuvent être exprimés par la théorie de LeCam sur les expériences statistiques où, autrement dit, par la théorie de comportment des processus de likelihood ratios.

Un actif financier positif avec l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage permet une représentation par une expérience statistique ou, pour le dire dans une façon plus précise, par un processus de likelihood ratios filtré. En utilisant cette observation nous revisitons des probabilités martingales, l’hypothèse de complétude des marchés et des formules d’évaluation des produits dérivés d’un point de vue statistique.