A robust biplot

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Abstract

This paper introduces a robust biplot which is related to multivariate M-estimates. The n × p data matrix is first considered as a sample of size n from some p-variate population, and robust M-estimates of the population location vector and scatter matrix are calculated. In the construction of the biplot, each row of the data matrix is assigned a weight determined in the preliminary robust estimation. In a robust biplot, one can plot the variables in order to represent characteristics of the robust variance-covariance matrix: the length of the vector representing a variable is proportional to its robust standard deviation, while the cosine of the angle between two variables is approximately equal to their robust correlation. The proposed biplot also permits a meaningful representation of the variables in a robust principal-component analysis. The discrepancies between least-squares and robust biplots are illustrated in an example.

Abstract

Cet article propose un biplot robuste construit à l'aide de M-estimateurs multivariés. On considère d'abord la matrice nxp des données comme un échantillon de taille n d'une population àp variables et on calcule des M-estimations robustes du vecteur des paramètres de position et de la matrice de dispersion théorique. Dans la construction du biplot, chaque ligne de la matrice des données reçoit un poids déterminé dans l'estimation robuste préliminaire. Le biplot robuste peut ětre construit de telle sorte que le graphique des variables représente les composantes de la matrice de variances-covariances robuste: la longueur du vecteur représentant une variable est proportionnelle à sa déviation standard robuste tandis que le cosinus de l'angle entre deux variables est égal au coefficient de corrélation robuste entre ces deux variables. Le biplot proposé permet en outre des représentations des variables dans une analyse en composantes principales robuste. Un exemple permet de faire une comparaison du biplot des moindres carrés avec le biplot robuste.

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