Il est courant, en inférence fréquentielle, d'utiliser un point unique (une estimation ponctuelle) ou un intervalle (intervalle de confiance) dans le but d'estimer un paramètre d'intér^t. Une question très simple se pose: peut-on également utiliser, dans le même but, et dans la même optique fréquentielle, à la façon dont les Bayésiens utilisent une loi a posteriori, une distribution de probabilité? La réponse est affirmative, et les distributions de confiance apparaissent comme un choix naturel dans ce contexte. Le concept de distribution de confiance a une longue histoire, longtemps associée, à tort, aux théories d'inférence fiducielle, ce qui a compromis son développement dans l'optique fréquentielle. Les distributions de confiance ont récemment attiré un regain d'intérêt, et plusieurs résultats ont mis en évidence leur potentiel considérable en tant qu'outil inférentiel. Cet article présente une définition moderne du concept, et examine les ses évolutions récentes. Il aborde les méthodes d'inférence, les problèmes d'optimalité, et les applications. A la lumière de ces nouveaux développements, le concept de distribution de confiance englobe et unifie un large éventail de cas particuliers, depuis les exemples paramétriques réguliers (distributions fiducielles), les lois de rééchantillonnage, les p-valeurs et les fonctions de vraisemblance normalisées jusqu'aux a priori et posteriori bayésiens. La discussion est entièrement menée d'un point de vue fréquentiel, et met l'accent sur les applications dans lesquelles les solutions fréquentielles sont inexistantes ou d'une application difficile. Bien que nous attirions également l'attention sur les similitudes et les différences que présentent les approches fréquentielle, fiducielle, et Bayésienne, notre intention n'est pas de rouvrir un débat philosophique qui dure depuis près de deux cents ans. Nous espérons bien au contraire contribuer à combler le fossé qui existe entre les différents points de vue.

In frequentist inference, we commonly use a single point (point estimator) or an interval (confidence interval/“interval estimator”) to estimate a parameter of interest. A very simple question is: Can we also use a distribution function (“distribution estimator”) to estimate a parameter of interest in frequentist inference in the style of a Bayesian posterior? The answer is affirmative, and confidence distribution is a natural choice of such a “distribution estimator”. The concept of a confidence distribution has a long history, and its interpretation has long been fused with fiducial inference. Historically, it has been misconstrued as a fiducial concept, and has not been fully developed in the frequentist framework. In recent years, confidence distribution has attracted a surge of renewed attention, and several developments have highlighted its promising potential as an effective inferential tool.

This article reviews recent developments of confidence distributions, along with a modern definition and interpretation of the concept. It includes distributional inference based on confidence distributions and its extensions, optimality issues and their applications. Based on the new developments, the concept of a confidence distribution subsumes and unifies a wide range of examples, from regular parametric (fiducial distribution) examples to bootstrap distributions, significance (p-value) functions, normalized likelihood functions, and, in some cases, Bayesian priors and posteriors. The discussion is entirely within the school of frequentist inference, with emphasis on applications providing useful statistical inference tools for problems where frequentist methods with good properties were previously unavailable or could not be easily obtained. Although it also draws attention to some of the differences and similarities among frequentist, fiducial and Bayesian approaches, the review is not intended to re-open the philosophical debate that has lasted more than two hundred years. On the contrary, it is hoped that the article will help bridge the gaps between these different statistical procedures.

Two-state models (working/failed or alive/dead) are widely used in reliability and survival analysis. In contrast, multi-state stochastic processes provide a richer framework for modeling and analyzing the progression of a process from an initial to a terminal state, allowing incorporation of more details of the process mechanism. We review multi-state models, focusing on time-homogeneous semi-Markov processes (SMPs), and then describe the statistical flowgraph framework, which comprises analysis methods and algorithms for computing quantities of interest such as the distribution of first passage times to a terminal state. These algorithms algebraically combine integral transforms of the waiting time distributions in each state and invert them to get the required results. The estimated transforms may be based on parametric distributions or on empirical distributions of sample transition data, which may be censored. The methods are illustrated with several applications.

Les modèles à deux états (fonctionnement/panne ou vivant/mort) sont largement utilisés dans l’analyse de fiabilité et de survie. Par contraste, les processus stochastiques àétats multiples procurent un cadre de travail plus riche pour la modélisation et l’analyse de la progression d’un processus allant d’un état initial à un état final, ce qui permet d’incorporer plus de détails du mécanisme de processus. Nous passons en revue les modèles àétats multiples, en nous concentrant sur les processus semi-Markoviens (PSM) homogènes en temps et nous décrivons ensuite le cadre de travail statistique du graphique de flux, qui comprend les méthodes d’analyse et les algorithmes servant à calculer les quantités d’intérêt comme la distribution des premiers temps de passage vers un état final. Ces algorithmes combinent de manière algébrique les transformées intégrales des distributions de temps d’attente dans chaque état et les inversent pour obtenir les résultats exigés. Les transformées estimées peuvent se baser sur les distributions paramétriques ou sur les distributions empiriques des données de transition d’échantillon, qui peuvent être censurées. Les méthodes sont illustrées avec plusieurs applications.

This paper discusses the connection between mathematical finance and statistical modelling which turns out to be more than a formal mathematical correspondence. We like to figure out how common results and notions in statistics and their meaning can be translated to the world of mathematical finance and vice versa. A lot of similarities can be expressed in terms of LeCam’s theory for statistical experiments which is the theory of the behaviour of likelihood processes. For positive prices the arbitrage free financial assets fit into statistical experiments. It is shown that they are given by filtered likelihood ratio processes. From the statistical point of view, martingale measures, completeness, and pricing formulas are revisited. The pricing formulas for various options are connected with the power functions of tests. For instance the Black–Scholes price of a European option is related to Neyman–Pearson tests and it has an interpretation as Bayes risk. Under contiguity the convergence of financial experiments and option prices are obtained. In particular, the approximation of Itô type price processes by discrete models and the convergence of associated option prices is studied. The result relies on the central limit theorem for statistical experiments, which is well known in statistics in connection with local asymptotic normal (LAN) families. As application certain continuous time option prices can be approximated by related discrete time pricing formulas.

Dans cet travail on discute une connexion entre les mathématiques financières et la modélisation statistique. On trouve qu’il y a plus qu’une correspondance formelle. Nous voulons découvrir comment on peut traduire des résultats usités statistiques et leur signification par des expressions des mathématiques financières et vice versa. Beaucoup des ressemblances peuvent être exprimés par la théorie de LeCam sur les expériences statistiques où, autrement dit, par la théorie de comportment des processus de likelihood ratios.

Un actif financier positif avec l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage permet une représentation par une expérience statistique ou, pour le dire dans une façon plus précise, par un processus de likelihood ratios filtré. En utilisant cette observation nous revisitons des probabilités martingales, l’hypothèse de complétude des marchés et des formules d’évaluation des produits dérivés d’un point de vue statistique.

Résumer l'impact d'un nombre élevé de variables explicatives à celui d'un nombre réduit de combinaisons linéaires bien choisies constitue une façon efficace de réduire la dimension d'un problème. Cette réduction à un petit nombre de combinaisons linéaires est réalisée à partir d'hypothèses minimales sur la forme de la dépendance et jouit, par rapport à une approche fondée sur la sélection de variables, de propriétés particulièrement attractives. Nous passons en revue la littérature existante sur ce sujet, en mettant l'accent sur les modèles les plus courants, dans lesquels la réduction de dimension affecte l'espérance conditionnelle de la réponse ou sa loi conditionnelle tout entière. Nous discutons plusieurs méthodes d'estimation et d'inférence, en insistant sur les idées sous-jacentes plutôt que sur les aspects techniques. Nous présentons également quelques problèmes non résolus et thèmes de recherches futures dans ce domaine.

Summarizing the effect of many covariates through a few linear combinations is an effective way of reducing covariate dimension and is the backbone of (sufficient) dimension reduction. Because the replacement of high-dimensional covariates by low-dimensional linear combinations is performed with a minimum assumption on the specific regression form, it enjoys attractive advantages as well as encounters unique challenges in comparison with the variable selection approach. We review the current literature of dimension reduction with an emphasis on the two most popular models, where the dimension reduction affects the conditional distribution and the conditional mean, respectively. We discuss various estimation and inference procedures in different levels of detail, with the intention of focusing on their underneath idea instead of technicalities. We also discuss some unsolved problems in this area for potential future research.